Aprovar és possible (però molt difícil)

Aquest és un “post-protesta” en el que posaré de manifest com n’és de difícil un examen, encara que estiguis estudiant en una privada (el mite que t’aproven per la cara *NO* és cert), portis repetint l’assignatura durant 5 anys (que “com que ho has fet tantes vegades, t’ha de semblar molt fàcil”) i sigui el teu últim obstacle abans d’acabar l’Enginyeria Tècnica (ergo, et presentis a convocatòria extraordinària, ergo, sigui més fàcil que en convocatòria ordinària ja que tothom està com tu).

Aprovar: acabar totes les assignatures de la carrera i poder presentar el TFC.
Suspendre: haver d’acabar el curs anant per parcials (fins a Juny o potser Setembre), retrassant l’entrega del TFC, amb la possibilitat de tornar a repetir l’assignatura o, creuar els dits perquè la Junta d’Avaluació cregui que, gràcies als esforços dedicats, ets digne de rebre l’aprovat (això sí que es podria agafar com aprovat by-the-face , però l’any passat no em va funcionar).

El temari és el mateix de sempre:

• El primer parcial inclou les equacions diferencials (de qualsevol ordre) i els seus respectius mètodes de resolució, les transformades i antitransformades de Laplace i la resolució de les equacions mitjançant transformades.
• El segon comprèn principalment les integrals múltiples, ja sigui per calcular àrees de superfícies, volums, o fins i tot massa (amb integrals triples de densitats). També té una petita part al principi de derivades direccionals i derivades de funcions implícites; al final, s’introdueixen les integrals vectorials.
• En el tercer parcial s’acaba de veure el tema de les integrals vectorials, aplicant-lo a treballs i fluxos de camps, i després es canvia radicalment de registre i s’ataca el tema de la probabilitat, que va des de la teoria de conjunts i successos més bàsica, passant per Bayes i probabilitats condicionades, les funcions densitat i distribució, els conceptes d’esperança i variança, fins arribar a estudiar algunes de les distribucions més utilitzades, com ara la distribució normal.

A continuació transcric (resolt en la tranquilitat de les meves llars (GRN-BCN-tren) i amb el suport dels apunts) l’examen de Matemàtiques de segon curs de l’Enginyeria Tècnica al que em vaig enfrontar, durant una hora i mitja, la tarda del dia 21 de Gener:

---

1. Resol:

(x2 − 1) yʺ − 2 x yʹ + 2 y = 0

y1 = x

Solució:
Es tracta d’una equació diferencial ordinària lineal homogènia de segon ordre. Ho veiem perquè la y i les seves derivades estan multiplicant polinomis (lineal), està igualada a 0 (homogènia) i perquè la derivada màxima és yʺ (segon ordre).

El primer pas és fer que la y de la derivada màxima no estigui multiplicada per res.  Per poder continuar hem d’obtenir un model com:

yʺ + P(x) yʹ + Q(x) y = R(x)

Per això, dividirem tota l’equació per x² − 1:

yʺ −	2 x	yʹ +	2	y = 0
	x2 − 1		x2 − 1

Com que ens donen una de les dues solucions (y₁ = x), aplicarem la fórmula que ens tornarà directament la segona:

y2 =  y1	∫	ℯ−∫P(x) dx	dx
		y12

Com que P(x) =	2 x	, llavors −	∫	2 x	dx = − ln(x2 − 1)
	x2 − 1			x2 − 1

Substituint a la fórmula anterior,

y2 =  y1	∫	ℯ−∫P(x) dx	dx = x	∫	ℯ−(− ln(x² − 1))	dx = x	∫	x2 − 1	dx =
		y12			x2			x2

y2 = x		x +	1			= x2 + 1
			x

Així doncs, la solució final quedaria:

y = C₁ y₁ + C₂ y₂ = C₁ x + C₂ (x² + 1)

---

2. Donada la funció

G(t) =		cos t	0 ≤ t < 4π
		0	t ≥ 4π

(a) Calcula la seva transformada de Laplace sabent que

ℒ

cos(ωt) F(t)

=

ℝ

f(s − j ω)

i

ℯjωt = cos(ωt) + j sin(ωt)

Solució:
El que ens demanen és la transformada de la funció G(t), sabent que la transformada d’una funció qualsevol, en direm F(t), multiplicada pel cos(ωt) és igual a la part real de la transformada de F(t) en s − ω.
A més, ens recorden la fórmula d’Euler, per si ens és útil.

Per començar, analitzarem la funció. Com que no ens donen el comportament abans de t = 0, suposarem que és el mateix que el de després de t = 4π, és a dir, que també val 0. Així doncs, veiem que G(t) és una funció rectangular (o funció de boxcar), que val cos t entre 0 i 4π, i 0 en la resta. Una notació equivalent és (t − 0,4π). Tot i així, una funció rectangular està definida de forma que la seva amplitud (altura) és 1 en el tram delimitat; el que a nosaltres ens interessa és que valgui cos t. Per tant, multiplicarem la funció rectangular pel cosinus i aconseguirem complir l’objectiu.

La funció, representada gràficament vindria a ser:

Resumint, el que se’ns demana finalment és

ℒ

cos(ωt) (t − 0,4π)

on ω = 1.

Per resoldre-ho, d’una banda usarem la fórmula que ens han proporcionat, i de l’altra, sabem que

ℒ		(t − a,b)			=		ℯ−as − ℯ−bs
							s

Si ho apliquem al nostre problema:

ℒ

cos(ωt) (t − 0,4π)

=

ℝ

ℯ−0(s − 1) − ℯ−4π(s − 1)

=

1 − ℯ−4π(s − 1)

(s − 1)

(s − 1)

Nota: per si algú es preguntava perquè ens havien donat la identitat d’Euler si no l’hem utilitzada, era per fer l’exercici d’una manera alternativa; si no es deduïa la funció de graó i s’observava que la funció cosinus està definida entre 0 i 4π, aquesta es podia replantejar en forma de diverses funcions trigonomètriques que es podien simplificar mitjançant aquesta igualtat.

(b) Resol el Problema del Valor Inicial:

xʺ − 16 x = G(t)

x(0⁺) = xʹ(0⁺) = 0

Solució:
Ens demanen de resoldre l’equació diferencial lineal de segon ordre a coeficients constants igualada a la funció de l’enunciat.
Com que ens donen els valors de xʹ(0⁺) i x(0⁺), podem aprofitar-los aplicant transformades de Laplace a ambdues bandes de la igualtat i després, antitransformant, acabar trobant la funció X(t) que fa certa l’equació.

A l’apartat anterior ja hem trobat la transformada de la banda dreta, així que anem a desenvolupar la de la banda esquerra:

ℒ

xʺ(t) − 16 x(t)

=

ℒ

xʺ(t)

− 16

ℒ

x(t)

=

s (

ℒ

xʹ

) − xʹ(0⁺) − 16 x(s) = s (s x(s) − x(0⁺)) − xʹ(0⁺) − 16 x(s) =

s2 x(s) − 16 x(s) = (s2 − 16) x(s)

De manera que ara tenim

(s2 − 16) x(s) =		1 − ℯ−4π(s − 1)
		(s − 1)

d’on, aïllant x(s), extraiem

x(s) =		1 − ℯ−4π(s − 1)
		(s2 − 16) (s − 1)

Ara el que toca és antitransformar, és a dir, obtenir la funció X(t), la transformada de la qual seria x(s).

Si ho mirem més detingudament, veiem que hi ha una multiplicació de fraccions que ens pot interessar, el que traduït en termes d’antitransformades significaria una convolució (tema que surt a toooots els exàmens de matemàtiques).

x(s) =		1	⋅	1 − ℯ−4π(s − 1)
		(s2 − 16)		(s − 1)

La primera fracció s’assembla a la transformada d’un sinh, però li faltaria un 4 al numerador, mentre que la segona s’assembla a la funció rectangular que teníem al principi, encara que posicionada en s − 1, el que vol dir que la funció original té una ℯ multiplicant-la. Per tant, arreglant les fraccions i desfent la convolució:

ℒ−1

1

⋅

4

⋅

1 − ℯ−4π(s − 1)

=

1

sinh (4t) ∗ (ℯt  (t − 0,4π))

4

(s2 − 16)

(s − 1)

4

---

3. Calcula la derivada direccional de z = f(x , y , z) = x y z en una direcció perpendicular als vectors v = i − 2 j + 3 k i w = 2 i + j − k

Solució:
Per trobar qualsevol derivada direccional, necessitem sempre dues coses: el gradient de la funció, és a dir, la direcció en la que el camp vectorial experimenta un major creixement, i el vector (unitari) que ens indica la direcció sobre la que volem projectar la derivada. Després, realitzarem el producte escalar entre ambdós vectors i obtindrem el resultat final.

Així, la derivada direccional ens indica la proporció en la que augmenta un camp vectorial en una direcció donada. Si posicionem la derivada direccional en un punt en concret trobarem el valor del camp en aquelles coordenades.

Per començar, buscarem el vector que ens dóni la direcció a seguir. Ens diuen que ha de ser una direcció perpendicular als vectors v i w.

 

Busquem p, perpendicular al pla que defineixen els vectors v (en vermell) i w (en blau).

La opció més senzilla és fent el producte vectorial, la qual cosa resultarà en un vector que marcarà la direcció que estàvem buscant.

 

		i	j	k
p = v × w =		1	−2	3		= (2 i + 6 j + k) − (3 i − j − 4 k) = −i + 7 j + 5 k
		2	1	−1

Ara, cal normalitzar el vector p, és a dir, fer-lo de longitud 1. Per això, dividirem cada component pel mòdul d’aquest:

u  =

p

=

− i + 7 j + 5 k

=

− i + 7 j + 5 k

p

(−1)2 + 72 + 52

75

El gradient el trobarem seguint la fórmula:

∇f =		∂f	i +		∂f	j +		∂f	k = (y z) i + (x z) j + (x y) k
		∂x			∂y			∂z

Per acabar, realitzarem el producte escalar entre el gradient i el vector unitari que hem trobat abans:

∇f •	u = (y z , x z , x y)•(		−1		’	7		’	5		) =		-y z + 7 x z + 5 x y
				75			75			75					75

---

4. Calcula el volum limitat pel primer octant i el pla 2 x + y + 3 z = 6

Solució:
El primer que hem de fer sempre en aquest tipus d’exercicis (corbes, superfícies, volums o masses, en definitiva, per integrals múltiples o vectorials) és dibuixar els elements que intervenen en la figura que es vol calcular per tal d’estudiar els seus dominis. En aquest cas serà fàcil, ja que es tracta d’un sol pla; els altres tres són els que limiten el primer octant (el ⅛ de l’espai on tots tres eixos són positius).

Per fer-ho, observarem les interseccions del pla que ens donen amb cadascun dels eixos i inferirem la forma que pot tenir el volum.

Intersecció amb x (y = z = 0):  2 x + 0 + 0 = 6	x = 3
Intersecció amb y (x = z = 0):  0 + y + 0 = 6	y = 6
Intersecció amb z (x = y = 0):  0 + 0 + 3 z = 6	z = 2

Ara ja podem fer una representació dels punts i, per tant, del pla:

Amb això ja tenim suficients dades per deduir els límits que tindran els recorreguts de cada variable.
Per començar, en fixarem una de les tres, per exemple la x. La següent que escollim (per exemple la y) només haurà de dependre d’aquesta. La última (z), la posarem en funció de les altres dues. Cal realitzar el procediment de selecció de variables amb previsió suficient perquè quedin funcions de dependències senzilles entre unes i altres. En el nostre cas és igual, ja que com que es tracta d’un simple pla les funcions seran polinomis en tots els casos.

Així doncs, veiem que el recorregut de la x va de 0 (l’origen de coordenades) a 3 (intersecció del pla amb l’eix).
Per trobar la dependència de y amb x observarem la forma que es representa en el pla que defineixen els eixos de les dues variables; prenent un parell de punts de referència, o directament aplicant l’equació de la recta, veiem que la funció que estem buscant, és y = −2 x + 6.
Per últim, ja només ens queda deduir l’últim dels dominis seguint el caràcter de la component z pel volum: sempre anirà de 0 (pla que limita inferiorment) fins al pla que ens dónen (superiorment) d’on, aïllant-la

z =		6 − 2 x − y
		3

Com que en aquest problema no ens donen densitats perquè el que calculem és volum (no massa), la funció que integrarem serà 1. Per tant,

	3		−2x + 6		6 − 2 x − y					3		-2x+6
∫		∫		∫	3				∫		∫
					1 dz dy dx		=						6 - 2 x - y	dy dx =
													3
	0		0		0					0		0

	3
∫
		4 x2 − 24 x + 36	dx =		72 − 36	= 6
		6			6
	0

Aquest és el mètode general (i protocolari) de resoldre els exercicis de càlcul de volums, encara que aquest en concret també s’hauria pogut resoldre amb uns quants coneixements extra, ja que com veiem en el dibuix dels plans, la figura que es forma és un tetraedre, el volum del qual es defineix com

Vtetraedre =		llargada ⋅ amplada ⋅ alçada		=		6 ⋅ 3 ⋅ 2		= 6
		6				6

---

5. Sigui X una variable aleatòria amb funció densitat

			−x
f(x) =		k x ℯ	3	x > 0
		0		x ≤ 0

(a) Calcula el valor de k.

Solució:
Per tal que f(x) sigui una funció densitat, la integral en tot el seu domini (altrament anomenada funció distribució) ha de ser igual a la unitat (la probabilitat total). Per tant, el que farem és integrar la funció que ens donen, deixant-ho tot depenent de k per, al final, saber el seu valor per tal que dóni 1. Com que per valors inferiors a 0 la funció val 0, ens centrarem a calcular el que passa més enllà de l’origen. Per tant, la integral anirà de 0 a ∞.

Nota: En ser constant k, l’he treta de la integral i l’he passat dividint a l’1 de l’altre costat de l’igualtat, i he resolt la integral per parts.

∫

∞

−x

−x

−x

=

1

=

x ℯ

3

dx =

v = −3ℯ

3

dv = ℯ

3

dx

k

u = x

du = dx

0

−x

∫

−x

∞

=

−x

−x

∞

=

− 3 x ℯ

3

−

−3 ℯ

3

dx

− 3 x ℯ

3

+ 3⋅(− 3 ℯ

3

)

0

0

En aquest punt se’ns presenta el dubte de la substitució en la multiplicació entre el polinomi i l’exponencial per x = ∞, el qual resoldrem mitjançant un senzill límit i recordant que les exponencials tendeixen a convergir més ràpid que els polinomis; per tant, despreciarem el comportament d’aquest últim.

Així doncs, la substitució ens dóna:

1	= (0 + 0) − (0 + 3⋅(−3)) = 9		k =	1
k				9

	−x
(b) Calcula l’esperança de la variable aleatòria Y = ℯ	³

Solució:
L’esperança d’una variable qualsevol ξ(x) es defineix com:

	∫	∞
E[ ξ(x) ] =			ξ(x) f(x) dx
		−∞

per tant, si en el lloc de la variable hi posem la que ens donen i resolem la integral de forma anàloga a l’apartat anterior trobem:

	∫	∞			−2x
E[Y] =			1	x ℯ	3	dx
			9
		0

	E[Y] =	1
		4

---

Cal dir que els exercicis no estaven puntuats, de manera que el fet de saber que la meitat eren correctes no era garantia d’aprovat. Podies suposar que la puntuació es repartiria equitativament, o que la distribució radicaria en la dificultat de cada problema.

A més, si surts de l’examen i t’adones que en una matèria com Matemàtiques tothom té resultats diferents, no te’n vas amb un bon regust.

Dies abans que sortissin oficialment les notes, s’estén el rumor que només han aprovat 3 persones (de la quinzena que ens havíem presentat).

Per acabar-ho de rematar, el dia de la revisió la professora va confessar que, a causa d’un error a l’enunciat del segon exercici (s’havia deixat una t en l’igualtat d’Euler), aquest queda anul·lat, passant la seva puntuació a repartir-se entre els altres (2 punts que incrementen en 0,5 el valor de cada problema).

Veig l’examen. Tot i que ja ho sabia, m’he equivocat a l’hora d’escriure la solució final de la EDO del primer exercici (la de la homogènia), i he posat ℯ on no calia. Me n’adono que anava ben encaminat en el problema de la derivada direccional, però a l’últim moment, un cop de cap mal donat fa que desestimi la via que prenia i intenti una derivada implícita. En l’exercici de la funció densitat, per no escriure explícitament el límit i la seva substitució, m’encallo i deixo la integral sense resoldre; el segon apartat ni plantejar-lo. Sabia que les solucions de la EDO eren correctes (per comparació amb altres persones i per repetició de l’exercici) i també que el volum era correcte (l’havia fet 3 vegades durant l’examen i després havia trobat la fórmula general dels tetraedres).

Ara tot depèn de com s’hagin puntuat els exercicis.

Amb tot això, he aprovat. Després de 5 anys. Però no me n’alegro. Circumstàncies externes, i el fet que trec un mediocre 5, fan que no valori l’aprovat. A la revisió aconsegueixo que la professora vegi que m’ha puntuat injustament un exercici i pujo 1,25 punts. 6,25. A dia d’avui, segueixo sense valorar-lo, i penso que si hagués insistit en un altre punt, potser podria haver arribat al 7. Però em conformo. Sóc virtualment enginyer tècnic.

Amb aquest article no pretenia causar-te cap mena de reacció. És simplement una referència de les actituds que es gasten a la meva universitat i posar de manifest algunes de les dificultats que es presenten al llarg de la carrera. Hi ha hagut altres bèsties negres, però aquesta s’ha endut la palma (per tediosa, més que res).

Admiro la teva voluntat si has arribat a aquesta frase, havent-ho llegit i entès tot. Això pot demostrar diverses coses: o realment t’interessa la meva vida; o t’has enfrontat a aquest examen (i ara somrius, o no); o t’has d’enfrontar a aquest examen, i no tens cap altra referència (t’entenc); o ets professor de Matemàtiques (no t’entenc); o, simplement, tens molt temps lliure.

 

Menció especial a en Kuragari, que es va haver d’enfrontar a un examen semblant fa poc. Com va anar?

Felicitats a en Javi, i en especial a en Gabi, que també han aprovat, i amb més nota. Una abraçada.
(Érem nosaltres els 3 aprovats?)
Endavant amb la presentació del TFC, companys!